Jan Lubina: KALEJDOSKOP LICZB PIERWSZYCH

„Matematyka to muzyka rozumu” James Joseph Sylvester SŁOWO WSTĘPNE „Kalejdoskop liczb pierwszych” przedstawia liczby pierwsze w nowym świetle, w świetle ich podstawowych właściwości. Jakie są te podstawowe właściwości liczb pierwszych, zobaczymy na przykładzie liczb od 1 do 9, gdzie jest ich aż cztery, które to są, jak powstają i w jakim porządku następują po sobie. Dalej wyjaśniam w jaki sposób liczby pierwsze wplecione są w sekwencję liczb naturalnych, ujawniam całe ich ukryte dotąd piękno, które jest odbiciem od wieków zakodowanego w nich porządku, piękna i prawdy. WŁAŚCIWOŚCI LICZB OD 1-9 Mamy tylko tych dziewięć cyfr i z ich pomocą możemy zapisać wszystkie liczby. Zatem właściwości jakie one posiadają są udziałem wszystkich liczb. Jeżeli wszystkie cyfry pomiędzy 1 a 9 zapiszemy w porządku wzrastającym 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i dodamy do cyfr zapisanych w porządku malejącym to zobaczymy jak same 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, dopełniają się do pierwszej dziesiątki. (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45 (9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 45 10 + 10+10 + 10+10 + 10+10 +10 + 10 = 90 To podstawowe prawo dopełniania do danej dziesiątki obowiązuje wszystkie liczby i tylko w taki sposób się dopełniają jak pokazuje to poniższa tabela.

Do liczby 20 mamy 8 liczb pierwszych (2,3,5,7,11,13,17,19) i 2 iloczyny liczby trzy (9,15), które się dopełniają do połowy liczby 20/2 = 10 = 8 + 2. Od 20 do 100, czyli w 80 liczbach mamy 17 liczb pierwszych (23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97) i 23 ich iloczyny (21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77,81,85,87,91,93,95,99), które się dopełniają do połowy liczby 80/2 = 40 = 17 + 23. A w sumie na 25 liczb pierwszych do 100 mamy 25 dopełniających iloczynów 100/2 = 50 = (8 + 17) + (2 + 23) = 25 + 25, lub 25 liczb pierwszych wraz z 9 iloczynami liczb większych niż trzy 25 + 9 = 34, jest dopełniana przez 2 + 14 = 16 iloczyny liczby trzy do połowy danej wielkości 100/2 = 50 = 34 + 16. Z dodawaniem cyfr od 1 do 9 wiąże jeszcze jedna właściwość, oto dodawane jedna do drugiej tworzą kolejne liczby trójkątne 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21, 21 + 7 = 28, 28 + 8 = 36 36 + 9 = 45, a gdy teraz co drugą z nich podzielimy przez 1, 2, 3, 4, to otrzymamy kolejne liczby nieparzyste 3/1 = 3, 10/2 = 5, 21/3 = 7, 36/4 = 9. Suma zaś dwóch kolejnych liczb trójkątnych jest zawsze liczbą kwadratową 1 + 3 = 4, 2², 3 + 6 = 9, 3², 6 + 10 = 16, 4², 10 + 15 = 25, 5², 15 + 21 = 36, 6², 21 + 28 = 49, 7², 28 + 36 = 64, 8², 36 + 45 = 81, 9².

Wynika z tego jasno jak ciąg liczb naturalnych jest niezwykle uporządkowanym ciągiem liczb.

Jeżeli wszystkie cyfry od 1 do 9 zapiszemy w porządku wzrastającym i malejącym to otrzymamy ciąg 17 = 9 + 8 liczb, których suma wynosi 81 i do tego dodamy 17 cyfr zapisanych w porządku malejącym i wzrastającym to zobaczymy jak same dopełniają się do 10, a ich sumy do 81 + 89 = 170. To pokazuje w jak systematyczny sposób liczby pierwsze się rozprzestrzeniają, zawsze o tę samą liczbę 17, która jak pantograf pozwala dopełnić się przez swoje iloczyny do połowy każdej wielkości. (17 + /23, 33, 43,../ = 40, 50, 60)

Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych /9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9=89/ tworzą 17 par skrajnych składników/1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-7-6-5-4-3-2-1=81/, które użyte, jako czynniki (9*1) = 9, (8*2) = 16, (7*3) = 21, (6*4) = 24, (5*5) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych /9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25/, co dowodzi, że te czynniki, czyli wszystkie liczby naturalne tworzą identyczne sumy pośrednie/9 + 1 = 8 + 2 = 7 + 3 = 6 + 4 = 5 + 5 = 4 + 6 = 3 + 7 = 2 + 8 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5 = 6 + 4 = 7 + 3 = 8 + 2 = 9 + 1 = 17(10) = 170/.

Ta parabola liczb ukazuje wyraźnie jaka jest wzajemna zależność pomiędzy pięcioma liczbami /1 3 5 7 9/ a liczbami na jej łuku /9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25/, oraz równania Pitagorasa 3² + 4² = 5², a także liczbami równań 25 + 9 = 34 i 25 – 9 = 16 mówiących, że suma i różnica liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą. Te prawa działają w całym zbiorze liczb naturalnych. Jeszcze jedną parabolę tworzą liczby od 1 do 9, a jest to parabola przystawania. Dwie liczby całkowite a b, są równoważne lub przystające modulo p, jeśli p dzieli (a – b). Stąd możemy napisać a ≡ b mod (p), a tak dzieje się z liczbami od 1 do 9. 9 – 2 = 7/7, 8 – 1 = 7/7, 7 – 0 = 7/7, 6 – 1 = 5/5, 5 – 2 = 3/3, 4 – 2 = 2/2

Dlatego rozwijają się jak przystająca talia 10 kart do wysokości siódmej karty.

Jak dziewięć cyfr dopełnia się do 9 poprzez wzrastające liczby na przekątnej, tak siedem cyfr dopełnia się do 7 wykorzystując cztery własne (7, 6, 5, 4) i cztery z przekątnej (3, 2, 1, 0). Wtedy otrzymujemy 7 pełnych ciągów liczb od 0 do 7 przystających do siebie modulo 7. 7(7), 49 – 42, 7(6), 42 – 35, 7(5), 35 – 28, 7(4), 28 – 21, 7(3), 21 – 14, 7(2), 14 – 7, 7(1) = 7/7.

Siedmiocyfrowa liczba 9999997/7 = 1428571, jest bez reszty podzielna przez siedem. Jeżeli na okręgu co 40⁰ umieścimy liczby od 1 do 9 i poprowadzimy linie od 1 do 4, od 4 do 2, od 2 do 8, od 8 do 5, od 5 do 7 i od 7 do 1 to wykreślimy dwie pary przylegających do siebie trójkątów długościami swoich boków (4 – 1 = 3, 8 – 5 = 3, 4 – 2 = 2, 7 – 5 = 2, 8 – 2 = 6, 7 – 1 = 6)

Świadczy to o doskonałym porządku panującym w całym ciągu liczb naturalnych, składającym się w 50% z liczb parzystych i nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą, czy kostką „Bóg nie gra ze światem w kości”, lecz oparte na zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich z skrajnych par liczb poprzedzających daną wielkość. Nie jest to więc działanie losowe, lecz przyczynowo-skutkowe. Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia. SUMA KOLEJNYCH LICZB Obserwuj tę piramidę liczb całkowitych, od 1 do 63, ułożonych w naturalne schody liczb w naturalnym porządku liczenia.

Jeżeli dodamy jeden do dwa to ich suma tworzy następną przyległą do sumy liczbę naturalną 3. Następna liczba kwadratowa 4 z 5 i 6 tworzy identyczną sumę co 7 i 8, czyli 15. Kolejna liczba kwadratowa z trzema kolejnymi liczbami tworzy identyczną sumę jak następne 3 liczby 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 = 42. Dzieje się tak dlatego, ponieważ pierwszy i ostatni składnik tych identycznych sum rośnie zawsze o kolejną liczbę nieparzystą 1 -3- 4 -5- 9 -7- 16, 3 -5- 8 -7- 15 -9- 24, zaś wszystkie inne o kolejną liczbę parzystą 1 -4- 5, 2 -4- 6, 3 -4- 7, 4 -6- 10, 5 -6- 11, 6 -6- 12, 7 -6- 13, 8 -6- 14. Również odstęp pomiędzy pierwszym i ostatnim składnikiem sum równa się kolejnej liczbie parzystej 1 -2- 3, 4 -4- 8, 9 -6- 15, 16 -8- 24,.. Zaś sumy i odstęp pomiędzy sumami to zawsze liczba podzielna przez trzy 3/3 -12/3- 15/3 -27/3- 42/3 -48/3- 90/3 -75/3- 165/3 -108/3- 273/3 -147/3- 420/3. A wszystko to zawarte jest w małym magicznym kwadracie dziewięciu liczb od 1 – 9.

Ponieważ liczba 5 jest średnią arytmetyczną liczb 1 do 9 [(1 +2 + 3 + 4 )+ 5 +( 6 + 7 + 8 + 9)] = 45/9 = 5 i dzieli ten ciąg na 2 części po 4 liczby, dopełniające się w pierwszej części skrajnymi parami do 5 = (1 + 4)(2 + 3), a w drugiej części do 15 = (6 + 9) (7 + 8), stąd ich suma to 2(5) = 10 i 2(15) = 30. Poza tym wszystkie skrajne liczby dopełniają się do 10 = (1 + 9)(2 + 8), dlatego 4(1 + 9) + 5 = 4(10) + 5 = 45. To że liczba 5 stoi w środku tego ciągu umożliwia wszystkim liczbom skrajnym dopełniać się do 10 (1 + 9), (2 + 8), (3 + 7), (4 + 6) i tę właściwość wykorzystuje się by w magicznym kwadracie suma 3 liczb w poziomie, w pionie i po przekątnej wynosiła zawsze 15.

W powyższej tabeli pokazano jak suma liczb parzystych 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 1 + 3 + 7 + 9 i nieparzystych są sobie równe, ponieważ pary liczb skrajnych dopełniają się do 10 (2 + 8) (4 + 6) (1 + 9) (3 + 7). Stąd możemy napisać 2(20) + 5 = 40 + 5 = 45, jako suma liczb od 1 do 9. Podobnie ułożyć można same liczby pierwsze. Proszę zauważyć, że cyfry ich sum 177 i 276 dodane do siebie 1 + 7 + 7 = 15, 2 + 7 + 6 = 15, tworzą identyczną sumę jak w magicznym kwadracie.

Ale nie ma w tym nic magicznego, to po prostu średnie arytmetyczne tych dziewięciu, czy szesnastu liczb dopełniają się do pełnej dziesiątki. (9 + 45 + 36 = 90) (21 + 36 + 52 + 31 = 140)

Średnią arytmetyczną z 5 liczb obliczamy dzieląc ich sumę przez 5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)/5 = 15/5 = 3, albo prościej dodając do danej liczby 1 i dzielimy to przez dwa (n + 1)/2 = średnia, (5 + 1)/2 = 6/2 = 3. Rzeczywiście liczba 3 dzieli ten ciąg liczb na 2 równe części par liczb dopełniających się do 6 = 1 + 5 = 2 + 4, stąd aby je wszystkie szybko policzyć wystarczy pomnożyć 6 razy 2 i dodać 3 [2(6) + 3 = 12 + 3 = 15]. Tabela średnich arytmetycznych liczb nieparzystych od 3 do 101.

Tabela średnich arytmetycznych liczb nieparzystych od 3 do 101, pokazuje jak same średnie dodawane kolejno do siebie 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7,.. tworzą wszystkie liczby nieparzyste zaczynając od 5.

Z faktu, że liczby nieparzyste są o 1 większe od liczb parzystych (2n + 1) wynika właściwość, że poprzedzająca je liczba parzysta z jeden dopełnia się do następującej liczby nieparzystej 8 + 1 = 9 6 + 1 = 7, 4 + 1 = 5, 2 + 1 = 3, jak i pozostałe pary poprzedzających liczb skrajnych 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9, 4 + 5 = 9, 2 + 5 = 7, 3 + 4 = 7, 2 + 3 = 5. I to jest zasada, na której opiera się budowa wszystkich liczb nieparzystych, czyli liczb pierwszych i ich iloczynów. Wiemy, że każda liczba naturalna większa niż jeden, podzielna tylko przez jeden i samą siebie, jest liczbą pierwszą, jeżeli składa się z par poprzedzających skrajnych liczb, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba jeden. 7 = (6 + 1)/1, (5 + 2)/1, (4 + 3)/1. Czyli liczbę 7 możemy zapisać w postaci trzech identycznych sum pośrednich 7/1 + 7/1 + 7/1 = 21/3 = 7/1, o wspólnym dzielniku jeden i to jest dowód, że jest liczbą pierwszą.

Ale nie wszystkie liczby nieparzyste są liczbami pierwszymi i chociaż powstają na tej samej zasadzie, to przy ich rozpisaniu zobaczymy, że nie składają się tylko z skrajnych par poprzedzających liczb względnie pierwszych, lecz także liczb, których najwyższym wspólnym dzielnikiem jest liczba większa niż jeden. Wtedy mamy do czynienie z liczbami złożonymi (9/3, 15/5, 21/7, 25/5, 27/3, 33/11, 35/7, 39/13, 45/5, 49/7, 51/17), bo 9 = (4 + 5)/1, ale również 9 = (3 + 6)/3, 51 = (25 + 26)/1, ale również 51 = (17 + 34)/17.

Według addytywnej teorii liczb, każdą liczbę nieparzystą, można przedstawić, jako sumę dwóch różnych składników skrajnych liczb poprzedzających, tworzących identyczne sumy pośrednie, nie mające wspólnego dzielnika większego niż jeden i wtedy jest pierwszą np.: 7 = (6 + 1)/1 = (5 + 2)/1 = (4 +3)/1, lub mające wspólny dzielnik większy niż 1 i wtedy jest złożoną np.: 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 +3)/3 = (5 + 4)/1. Widzimy, że takich rozkładów tworzących identyczne sumy pośrednie jest zawsze tyle, co połowa poprzedzającej liczby parzystej, a więc 6/2 = 3 do 7, 8/2 = 4 do 9, 10/2 = 5 do 10. W ten sposób łatwo możemy obliczyć sumę wszystkich liczb poprzedzających, mnożąc identyczne sumy równe danej liczbie, przez połowę poprzedzającej liczby parzystej np.: 3(7) = 21, 4(9) = 36, 5(11) = 55. Rozłożenie tych liczb na czynniki pierwsze, jest niezbitym dowodem, że dana liczba składa się z samych liczb pierwszych 21/3 = 7, 3(7) = 21, 55/5 = 11, 5(11) = 55, lub złożonych 36/3 = 12/3 = 4/2 = 2, 3(3) = 9, 2(2) = 4, 4(9) = 36. Uświadomienie sobie, że dodawanie parami wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie (6 + 5) = 11 = (7 + 4), mówi nam czy dana liczba trójkątna, jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości, składa się tylko z liczb pierwszych (55/5 = 11), czy złożonych (36/4 = 9). Jeżeli suma liczb poprzedzających, czyli dana liczba trójkątna rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, to znaczy, że każda para składników nie ma wspólnego dzielnika większego niż jeden i dana liczba jest pierwsza. Faktoryzacja danej liczby trójkątnej na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza, że co najmniej jedna para składników ma wspólny dzielnik większy niż jeden i dana liczba jest złożona. 9 = (8 + 1)/1=(7 + 2)/1=(6 + 3)/3=(5 + 4)/1, 4(9) = 36/2 = 18/2 = 9/3 = 3/3 = 1, (2*2)(3*3) = 36, czyli liczba 9 jest liczbą złożoną. Liczba 11 jest pierwszą, ponieważ pięć par składników o identycznych sumach, jakie ją tworzą, dodawane skrajnie jako liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają 55, liczbę trójkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich, równej połowie stojącej przed nią liczbie parzystej. (10 + 1)/1,= (9 + 2)/1,= (8 + 3)/1,= (7 + 4)/1,= (6 + 5)/1, 5(11) = 55/5 = 11. Liczby trójkątne 3, 10, 21, 36, 55,.. jako suma liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, składają się z n – tej ilości par składników dodawanych wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających, równej połowie poprzedzającej liczby parzystej 2/2, 4/2, 6/2, 8/2, 10/2, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych (4 + 1)/1, (2 + 3)/1, 5 + 5 = 10/2 = 5, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych (8 + 1)/1, (7 + 2)/1, (6 + 3)/3, (5 + 4)/1, 9 + 9 + 9 + 9 = 36/4 = 4*9 = (2*2) (3*3). Ten systematyczny proces określania, która liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą, jak to widzimy w poniższej tabeli, jest dobrym przykładem na algorytm to testujący: [(n – 1)(n)]/2 = n/2 = t | p = (n = p) lub (n)/2 = t | p = (p < n) = p(p’). Opiera się on na podstawowej właściwości liczb pierwszych do tworzenia n – tej ilości par składników o identycznych sumach pośrednich, które nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Wtedy liczba trójkątna jako suma wszystkich liczb poprzedzających, rozkłada się na czynniki pierwsze aż do danej liczby co oznacza, że jest liczbą pierwszą. Gdy rozkłada się na czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby to jest liczbą złożoną. Algorytm jest to metoda za pomocą, której możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazówek. Gdy to zastosujemy, wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający, że dana liczba jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.

Sprawdźmy, więc jakie właściwości posiada liczba (1,378,565,437 – 1)/2, od której odejmujemy 1 i dzielimy przez 2, aby zobaczyć ile par składników o identycznych sumach pośrednich tworzy, co się równa 1,378,565,436/2 = 689,282,718 par i przez tę liczbę ją mnożymy, by uzyskać sumę wszystkich liczb poprzedzających tj. liczbę trójkątną t = 950,221,331,356,217,766, która rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę, czyli dana liczba jest pierwszą, bo składa się z 689,282,718 par składników identycznych sum pośrednich liczby pierwszej 1,378,565,437. 1,378,565,437(689,282,718)= 950,221,331,356,217,766 (1 + 1,378,565,436)/1 = 1,378,565,437 950,221,331,356,217,766/3 = 316,740,443,785,405,922 (2 + 1,378,565,435)/1 = 1,378,565,437 316,740,443,785,405,922/2 = 158,370,221,892,702,961 (3 + 1,378,565,434)/1 = 1,378,565,437 158,370,221,892,702,961/114,880,453 = 1,378,565,437 (4 + 1,378,565,433)/1 = 1,378,565,437 114,880,453*6 = 689,282,718 (689,282,718 + 689,282,719)/1 = 1,378,565,437 Proszę zauważyć, że suma czterech liczb pierwszych wynosi 17 = 2 + 3 + 5 + 7, a liczba ta to połowa z 34/2 = 17 wskazuje na to, że liczby pierwsze tworzą 17 par z dziewięcioma iloczynami większymi niż trzy dopełnionymi przez 16 iloczynów liczby trzy do połowy danej wielkości. π(x) + ∑[p(p’)] = ½N 25 + (9 + 16) = 100/2, 5² + (3² + 4²) = 10²/2, 25 + 9 = 34/2 = 17

ZBIÓR LICZB NATURALNYCH W tabeli ułożonej z liczb w naturalnej kolejności (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,) widzimy, że liczby pierwsze i ich iloczyny podlegają tu ścisłym regułom: Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości, jest liczbą parzystą (9 + 25 = 34, 25 - 9 = 16), a o różnej nieparzystą (4 + 1 = 5, 4 - 1 = 3), oraz iż od liczby 59, która jest 17 liczbą pierwszą, stale będzie ich przybywać o 17 (34, 51, 68, 85, 102, 119, 136) w odpowiednim stosunku do ilości ich iloczynów, która jeżeli jest tej samej parzystości co ilość liczb pierwszych, uzupełnia liczby pierwsze w parzystym przedziale do połowy danej wielkości (34 + 38 = 72), gdy różnej parzystości to w nieparzystym przedziale do połowy danej wielkości (51 + 66 = 117) z godnie z równaniem π(x) + ∑[p(p’)] = ½N - połowa danej wielkości jest sumą ilości liczb pierwszych i ich iloczynów jakie występują do danej wielkości. I tak jak przeciwprostokątna w trójkącie zależna jest od przyprostokątnych, tak połowa danej wielkości zależy od parzystej lub nieparzystej wielokrotności liczby 17 /34, 51, 68, 85, 102/ uzupełnioną przez parzystą lub nieparzystą ilość iloczynów liczb pierwszych /38, 66, 103, 136,177/ do parzystej lub nieparzystej połowy danej wielkości /72, 117, 171, 221, 279/.

Odtąd w sposób naturalny liczb pierwszych będzie przybywać zawsze o kolejną wielokrotność liczby 17 (17-17-34-17-51-17-68-17-85-17-102), gdy przy 85 = 5(17) liczba iloczynów liczb pierwszych osiąga wartość 136 = 8(17), co w sumie daje 221 = 13(17) liczb pierwszych i ich iloczynów w 442 liczbach. Czyli 85 liczb pierwszych + 136 ich iloczynów = 221, stanowią połowę sekwencji 442 liczb wśród której występują w ściśle określonym stosunku 5 + 8 = 13, 5 : 8 : 13. A tak równomiernie rozmieszczone są liczby pierwsze i ich iloczyny, jak następują jedne po drugich w 20 kolumnach co 40 – 80 liczb i w wierszach o stałej ilości miejsc dla liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, uzupełnianych do ½N przez iloczyny liczby 3 (4 – 3 – 3) (6 – 7 – 7), to znaczy na 6 miejsc w tym wierszu 4 mogą zajmować liczby pierwsze, a 2 ich iloczyny większe niż 3, podobnie w wierszach na 7 miejsc, 5 dla liczb pierwszych a 2 dla ich iloczynów większych niż 3. Tylko w pierwszym rzędzie jest miejsce dla 8 liczb pierwszych, a ponieważ co trzecia liczba w każdym wierszu jest iloczynem liczby 3 znajdzie się tam 2 miejsca dla iloczynów liczby 3. W następnym wierszu wśród 6 miejsc, są 4 miejsca dla iloczynów liczby 3, a wśród 7 miejsc są 3 miejsca, dla iloczynów liczby trzy.

To nawzajem dopełniające się rozmieszczenie liczb pierwszy wraz z iloczynami większymi niż 3 i iloczynami liczby 3 (8 + 2 = 6 + 4 = 7 + 3 = 7 + 3 = 6 + 4 = 34 +16 = 50) sprawia, że liczby te rozwijają się pantograficznie do połowy danej wielkości 334 + 166 = 500. vTo nawzajem dopełniające się rozmieszczenie liczb pierwszy wraz z iloczynami większymi niż 3 i iloczynami liczby 3 (8 + 2 = 6 + 4 = 7 + 3 = 7 + 3 = 6 + 4 = 34 +16 = 50) sprawia, że liczby te rozwijają się pantograficznie do połowy danej wielkości 334 + 166 = 500.

Jeżeli sekwencja liczb pierwszych przestrzega tak surowych reguł, jak ścisły stosunek liczb pierwszych do swoich iloczynów, który w systemie dziesiętnym przybiera ściśle określone wartości według zasady 17, 34, 51, 68 liczb pierwszych są dopełniane przez swe iloczyny do pełnej dziesiątki np.: 17 + (23, 33, 43, 63, 73, 83, 93), 34 + (86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176), 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 209, 229), 68 + (202, 222, 232, 272, 312), w zależności od tego na przestrzeni jakiej rozmieszczone są wielkości. Jednak zawsze zachowana jest zasada, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów równa jest połowie danej wielkości do jakiej występują. π(x) + ∑[p(p’)] = ½N, 68 + 102 = 170, (2 : 3 : 5). I to jest dowód na to, że liczby pierwsze nie są rozmieszczone chaotycznie, lecz systematycznie według surowych zasad. STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ICH ILOCZYNÓW W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich do danej wielkości. Do 10-ciu mamy 4 liczby pierwsze (2 + 3 + 5 + 7) = 17, tworzą one 4 identyczne sumy pośrednie do 10 [2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 5 + 5 = 10, 7 + 3 = 10, (8 + 7 + 5 + 3) = 23, 17 + 23 = 40/4 = 10]. Według tego schematu będzie się kształtował stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów, to znaczy na 40 liczb nieparzystych w danym przedziale może być 17 liczb pierwszych i 23 ich iloczynów. A tak to wygląda na wykresie liniowym. Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 = 17), dopełniona sumą różnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23), pokazuje, jaki jest stosunek 17 liczb pierwszych /od 20 – 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 do 100/ do 23 ich iloczynów /21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99/ w 17 + 23 = 40 liczbach, jako połowy danej wielkości. (100 – 20 = 80/2 = 40) π(x) + Σ[p(p’)] = ½N.

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary, czyli 8 liczb pierwszych (2, 3)(5, 7)(11, 13)(17, 19), a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15), (8 + 2 = 10). W dalszych rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)=(5 + 5)=(5 + 5)=(3 + 7) = (4 + 5 + 5 + 3) = 17 + 8 = 25, liczb pierwszych do (6 + 5 + 5 + 7) = 23 + 2 = 25 ich iloczynów, a więc w piątym rzędzie stosunek ten się wyrównuje, jak i w szóstym rzędzie dochodzi równo po 5 liczb pierwszych i ich iloczynów wyrównując do 30, czyli liczby pierwsze do swoich iloczynów są w stosunku 1 : 1. Do N 20 mamy 8 liczb pierwszych /π(20) = 8/ i tylko 2 iloczyny liczby 3 /9, 15/, a w następnych N 80 przybędzie ich równo 17 liczb pierwszych, by przy N 100 - π(100) równa się 8 + 17 = 25, uzupełnione do pełnej dziesiątki przez 23 iloczyny liczb 3, 5, 7 (21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99) /17 + 23 = 40/, co stanowi połowę 80 liczb wśród których się znajdują i wyrównują liczbę iloczynów z liczbą liczb pierwszych 2 + 23 = 25, 25 + 25 = 50 do połowy danej wielkości.

W dalszych rzędach 6 do 11 stosunek ten wynosi 17/33, to znaczy, że w przedziale 50 liczb (50 = 17 + 33), jest 17 liczb pierwszych i 33 ich iloczynów, czyli liczby pierwsze są rozmieszczone pośród swoich iloczynów w ściśle określonym stosunku. Jednak zawsze zachowana jest zasada, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów równa jest połowie danej wielkości /π(x) + Σ[p(p’)] = ½N, 68 + 102 = 170, 2:3:5/. W następnych rzędach/34 – 46/ stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów ulega podwojeniu z 17/43 do 34/86 ponieważ, obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb. Mamy tu jeszcze zakres 17 + 43 = 60 liczb, 17 + 53 = 70 liczb, 34 + 66 = 100 liczb, 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb.

Nie możemy powiedzieć, że liczby pierwsze występują zawsze co 20 liczb, ale jest pewne, że przybywa ich w ścisłym stosunku do ich iloczynów w grupach po, 17 + ( 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93) liczb, po 34 + (66, 86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176) liczb, po 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 229), po 68 + 202 = 270 liczb, po 68 + 222 = 290 liczb, po 68 + 232 = 300 liczb, po 68 + 272 = 340 liczb, jak to widzimy w poniższej tabeli do 10960 liczb. Σ[p(p')] π(x) ½N

Trudno wyobrazić sobie bardziej równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów niż te, wynikające z tego jak następują jedne po drugich w stałych odległościach, co 20 liczb,/3 – 23 – 43 – 63 - 83 – 103, 131 – 151 – 171 - 191 – 211 – 231 - 251 – 271 – 291/, dopełniając się wzajemnie w ściśle określonym stosunku (17/23, 17/33, 17/43,..) do połowy danej wielkości /½N/. Tworzą one wtedy 16 kolumn, czyli 4 razy 4 dla każdej charakterystycznej dla nich liczby jedności / 1 – 3 – 7 – 9/ po 16 i 17 liczb i 2 razy dwie czyli 4 kolumny dla iloczynów liczby 5 po 16 + 17 = 33(2) = 66. Jak łatwo można policzyć w sumie w 13 kolumnach po 17 liczb jest ich /13(17) = 221/ plus 1 = 222 i 7 kolumn po 16 liczb 7(16) = 112 + 222 daje 334 liczby. W tym jest samych liczb pierwszych /7(10) + 6(11) + 2(12) + 8 = 168/, a iloczynów liczb większych od 3, jest /4(7) + 9(6) + 66 + 9 + 5 + 4 = 166/.

Jednakowa odległość /20/ od siebie wszystkich liczb ułożonych zygzakowato w poniższej tabeli /9, 29, 49, 69, 89, 109/ sprawia, że w pierwszym rzędzie na 20 kolumn jest miejsce dla 8 liczb pierwszych i 2 iloczynów liczby 3. /8 + 2 = 10/ W następnych rzędach będzie miejsce na 6 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 4 iloczyny liczby 3 /6 + 4 = 10/, dalej na 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 3 iloczyny liczby 3 /7 + 3 = 10/ i jeszcze raz na 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 3 iloczyny liczby 3 /7 + 3 = 10/ i dalej na 6 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 4 iloczyny liczby 3 /6 + 4 = 10/. Dodając 8 + 6 + 7 + 7 + 6 = 34 otrzymujemy 34 miejsc, które zajmują liczby pierwsze i ich iloczyny większe niż 3, oraz 2 + 4 + 3 + 3 + 4 = 16, ilość miejsc które zajmują iloczyny liczby 3. 34 + 16 = 50, czyli do liczby 100 mamy 34 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, oraz 16 iloczynów liczby 3. 34/16/50 to podstawowy stosunek iloczynów liczby 3 do liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, które będą się powtarzały co 50 liczb aż do nieskończoności. Tu do 1000 widzimy ich 10 /16 + 16 + 17 + 17 + 16 + 17 + 17 + 16 + 17 + 17/ = 4(16) + 6(17) = 64 + 102 = 166 iloczynów liczby 3, oraz 10 /34 + 34 + 33 + 33 + 34 + 33 + 33 + 34 + 33 + 33/ = 4(34) + 6(33) = 136 + 198 = 334 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. Z tego stałego stosunku iloczynów liczby 3 do pozostałych liczb wynika, że mają one bezpośredni wpływ na ilość liczb pierwszych do danej wielkości /34 = 9 + 25 – 9 = 16/. To właśnie stała ilość iloczynów liczby 3 w danym rzędzie 16 = 3 + 3 + 4 + 3 + 3 i 17 = 4 + 3 + 3 + 4 + 3 sprawia, że dopełniane są przez stałą ilość (34) liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 w pięciu kolejnych rzędach 34 = 7 + 7 + 6 + 7 + 7.

Ten podstawowy stosunek iloczynów liczby 3 (16/34) do liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, znajduje swoje odbicie w ścisłym stosunku liczb pierwszych do ich iloczynów. Jak tam w rzędzie na 6 czy 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 nie mogło być iloczynów liczby 3, więcej niż 4 czy 3, /7 + 7 + 7 + 7 + 6 = 34, 3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 16/, /5(10) = 50 = 34 + 16/, jako dopełnienia do połowy danej wielkości (20/2 = 10), tak podobnie tu na 8 liczb pierwszych są 2 iloczyny liczby 3, /9, 15/, na 4 liczby pierwsze jest 6 ich iloczynów, na 5 liczb pierwszych jest 5 ich iloczynów, na 3 liczby pierwsze jest 7 ich iloczynów, co w sumie 8 + (4 + 5 + 5 + 3) = 8 + 17 = daje 25 liczb pierwszych uzupełnionych przez 2 + (6 + 5 + 5 + 7) = 2 + 23 = 25 ich iloczynów do 25 + 25 = 50 połowy danej wielkości.

FUNKCJA ILOŚCI LICZB PIERWSZYCH π(x) Dotąd wydawało się, że liczby pierwsze są zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Jednak liczb pierwszych jest stale mniej im dalsze obszary rozpatrujemy, a ilość ich jest w stosunku malejącym zarówno, co do połowy ilości liczb w danej wielkości, jak i ich iloczynów 25:25:50 1/1/2, 68 : 102 : 170, 2/3/5, 85 : 136 : 221, 5/8/13. Liczby pierwsze gdy chodzi o ich rozmieszczenie, podlegają bowiem jednej zasadzie, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzą połowę danej wielkości /π(x) + ∑[p(p’)] = ½N/, czyli są wzajemnie od siebie zależne. Co ciekawe liczba ilości ich iloczynów /∑ p(p’)/, jest liczbą zawsze o tej samej parzystości, co liczba ilości liczb pierwszych π(x). (25 + 25 = 50, 168 + 332 = 500, 1229 + 3771 = 5000, 9592 + 40408 = 50000, 78498 + 421502 = 500000,….) Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości, jest zawsze liczbą parzystą, a więc podzielną przez dwa. Reguła połowy sumy i różnicy liczb pierwszych i ich iloczynów, pozwala nam obliczyć ilość liczb pierwszych do połowy danej wielkości, bo ta połowa składa się z połowy sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości. Twierdzenie: Jeżeli liczba ilości ich iloczynów /∑p(p’)/, jest tej samej parzystości co liczba ilości liczb pierwszych π(x), to połowa ich sumy i różnicy dodana, gdy ich iloczynów, jest więcej niż liczb pierwszych, lub odjęta gdy liczb pierwszych jest mniej niż ich iloczynów daje dokładną wartość π(x) do połowy danej wielkości. Dowód: Jeżeli do 100 mamy 25 liczb pierwszych i 9 iloczynów liczb większych niż 3, to połowa sumy i różnicy zsumowana, gdy iloczynów liczb większych niż 3, jest mniej niż liczb pierwszych (25 + 9)/2 + (25 – 9)/2 = 17 + 8 = 25, lub odjęta gdy jest ich więcej niż liczb pierwszych (2105 + 1229)/2 – (2105 – 1229)/2 = 1667 – 438 = 1229, daje dokładną wartość π(x) do danej wielkości. A więc możemy zapisać wzór. [∑p(p’)>3 - ∑(p)]/2 ± [∑p(p’)>3 + ∑(p)]/2 = π(x) Długi na 168 liczb ciąg liczb pierwszych od 2 – 997, dopełniony jest przez 166 iloczynów liczby 3 (9 – 999), oraz 166 iloczynów liczb większych niż 3 [168 + (166 + 166)] = 168 + 332 = 500, do połowy danej wielkości. Z tego układu graficznego jasno wynika, że to iloczyny liczby 3 rosnące tak jak połowa danej wielkości w przewidywalnym postępie geometrycznym 16, [166 = 16(10) + 6, 1666 = 166(10) + 6], mają wpływ na ilość liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. To znaczy według podstawowego stosunku na 16 iloczynów liczby 3 przypada 34 = 25 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3. /16 + 34 = 50 = 25 + (16 + 6 +3)/

Im tych iloczynów liczby 3 jest więcej /16, 166, 1666/, tym mniej pozostaje miejsca dla liczb pierwszych w tym naturalnym ciągu liczb, rozwijających się arytmetycznie zawsze o liczbę doskonałą 6 (3 – 9 – 15 – 21 – 27)(5 – 11 – 17 – 23 – 29)(7 – 13 – 19 - 25 - 31). NAJDOSKONALSZY PORZĄDEK Jak równomiernie rozmieszczone są liczby pierwsze pokazują te 3 kolumny liczb parzystych od 0 – 96, od 2 – 98, od 4 – 100 i trzy kolumny liczb nieparzystych od 1 – 97, od 3 – 99, od 5 – 101 po 17 liczb w każdej, stąd wielokrotności liczby 17, 34/2, 51/3, 68/4, 85/5, 102/6 tworzą przekątną tego prostokąta liczb. Dlatego suma liczb jakie znajdują się w każdej kolumnie podzielna jest przez (816/17 = 48) wskazując, która liczba jest średnią arytmetyczną 17 liczb ciągu w tej kolumnie.(48, 49, 50, 51, 52, 53) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 153/17 = 9, to znaczy dziewięć jest średnią arytmetyczną 17 liczb, czyli dzieli ten ciąg 17 liczb na dwie części po osiem liczb 8 +/1/ + 8 = 17. Taką samą funkcję pełni liczba 17 w sześciu kolejnych ciągach liczb od 0 – 96, gdzie średnia arytmetyczna ciągu równa się 816/17 = 48, od 1 – 97, gdzie średnia arytmetyczna ciągu równa się 833/17 = 49, od 2 – 98, gdzie średnia arytmetyczna ciągu równa się 850/17 = 50, od 3 – 99, gdzie średnia arytmetyczna ciągu równa się 867/17 = 51, od 4 – 100, gdzie średnia arytmetyczna ciągu równa się 884/17 = 52, od 5 – 101, gdzie średnia arytmetyczna ciągu równa się 901/17 = 53. Dodając drugą i szóstą sumę liczb nieparzystych 833 + 901 = 1734/17 widzimy, że liczba 17 mieści się w niej 102 razy ponieważ jest sumą ich średnich arytmetycznych 833/17 + 901/17 = 49 + 53 = 102. Rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, w porządku na sto dwa, jest najdoskonalsze z możliwych, ponieważ stosunek sumy wartości liczbowych liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 (833 + 901 = 1734/17 = 102), do sum wartości liczbowych iloczynów liczby 3 (867/17 = 51), jest zawsze stały i wynosi 1734/867 = 2. Również stosunek średnich arytmetycznych ciągów liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 do liczby średniej arytmetycznej iloczynów liczby 3 jest stały i wynosi 102/51 = 2.

W powyższej tabeli widzimy 25 liczb pierwszych wraz z 9 ich iloczynami większymi niż 3 (25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95), zapisanych w 2 kolumnach po 17 liczb w formie ciągu o stałym odstępie 6. To liczba 17 = 25 + 9 = 34/2 sprawia, że liczby pierwsze i iloczyny są tak równomiernie rozmieszczone w pierwszym ciągu 12 liczb pierwszych plus 5 iloczynów równa się 17 i w drugim ciągu 13 liczb pierwszych plus 4 iloczyny równa się 17, czyli można napisać nowy ciąg 9 – (8) – 17 – (8) – 25, który mówi że 25 liczb pierwszych i 9 iloczynów większych niż 3 mieści się w dwóch 17 członowych ciągach. To pokazuje również o ile iloczynów większych niż 3 jest mniej (17 – 9 = 8), a liczb pierwszych więcej (25 – 17 = 8) rozmieszczonych w 2 ciągach, ponieważ 17 + 8 = 25, a 17 – 8 = 9.

Prowadzi to do zrównoważonego rozmieszczenia liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 ujętych w ciągu geometrycznym 3(q) w liczbach 4 – 30 – 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334,. (34 = 9 + 25, 334 = 166 + 168, 3 334 = 2 105 + 1 229), czyli ∑(p) + [p(p’)]> 3 = ∑[p(p’)]> 3 + π(x) uzupełnionych zawsze do ½ N przez iloczyny liczby 3 (16, 166, 1 666), jako suma dwóch stałych liczb 34 + 16 = 50, 334 + 166 = 500, 3 334 + 1 666 = 5 000, a ta suma rośnie w ciągu geometrycznym 5(q). To sprawia, że z połowy sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3, (25 + 9)/2 = 34/2 = 17 jedną liczbą odjętą lub dodaną z połowy różnicy pomiędzy nimi(25 – 9 = 16/2 = 8), można zrównać obie te liczby 9 + 8 = 17 = 25 – 8, 168 – 166 = 2/2 = 1, 166 + 1 = 167 = 168 – 1, 2105 – 1229 = 876/2 = 438, 2105 – 438 = 1667 = 1229 + 438 do połowy sumy liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3. Czyli istnieje ścisła zależność pomiędzy ilością przybywających liczb pierwszych π(x), a ich iloczynami większymi niż trzy /∑[p(p’)]>3/, które wzrastają w postępie geometrycznym 3(q), jak to widać w poniższej tabeli. /3(q) = ∑[p(p’)]>3 + π(x) 30 = 9 + 21, 300 = 157 + 143,../ To znaczy, jeżeli w pierwszej dziesiątce mamy 4 liczby pierwsze to do 100 nie może być ich więcej jak 3(10) = 30, to jest 21 liczb pierwszych plus 9 ich iloczynów większych niż 3 to się równa 30. 4 + 30 = 34 + 300 = 334 + 3000 = 3334,..

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana. Odtąd ciąg liczb pierwszych nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb, lecz do uporządkowanego w postępie geometrycznym 3(q) rosnącego ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, dopełnionego wraz z iloczynami liczby 3 do połowy danej wielkości. Czyli suma liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż π(x) + ∑ p(p’)>3 równa się różnicy pomiędzy połową danej wielkości, a iloczynami liczby trzy ½N – i(3), 25 + 9 = 34 = 50 – 16 i rośnie w postępie geometrycznym 3(q), 34 – 300 – 334 – 3000 – 3334. Stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów jest więc określony przez dopełnienie do połowy danej wielkości /π(x) + ∑ p(p’) = ½N i wynosi po 17 + (23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93), po 34 + (66, 86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176), po 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 229), po 68 + (102, 202, 222, 232, 272)/ liczb, przy czym w ramach tych stosunków tworzą się dodatkowe proporcje np.: 68(p) + 102 ∑ p(p’) = 170(½N), 2 : 3 : 5, 180(p) + 360 ∑ p(p’) = 540(½N), 1 : 2 : 3. Wtedy takie ciągi na wykresie radarowym prezentują się tak.

Lepiej wygląda to gdy w 25 kolumnach mamy po 10 liczb [(25)10 = 250], a w 24 kolumnach po 11 liczb [24(11) = 264] co w sumie oznacza 514 = 1028/2 liczb pierwszych i ich iloczynów stanowiących połowę danej wielkości rozmieszczonych regularnie w zygzakowatych odstępach 48 w lewo(11-59) i 50 w prawo(59-109) co daje w sumie postęp równy 48 + 50 = 98 (59-157). Tak ułożone liczby tworzą

8 lewoskrętnych ciągów iloczynów liczby trzy (9-57, 15-63, 21-69, 27-75, 33-81, 39-87, 45-93, 51-99) 5 prawoskrętnych ciągów iloczynów liczby pięć (55-155. 65-115, 25-125, 35-85, 95-145), oraz 7 kolumn iloczynów liczby siedem (49-343, 203-301, 161-259, 119-217, 77-371, 133-329, 91-287).

Taki symetryczny podział w swym układzie podobny jest do pełnego kwiatu słonecznika. Liczby pierwsze, których jest tyle samo co iloczynów liczb większych niż 3 to jest 172 tworzą 16 lewoskrętnych i 25 prawskrętnych ciągów, przy czym liczby bliźniacze występują tylko w lewoskrętnych.

Na tym wykresie liniowym widzimy jak liczba 515 stanowiąca połowę z 1030 liczb znajduje się w samym centrum, co świadczy o idealnym rozmieszczeniu wszystkich 514 = 172(p) + 172[p(p’)>3] + 170[3(p)] liczb. Natomiast wykres radarowy nadaje liczbom układ galaktyczny wirujących lewo i prawoskrętnych spirali.

Liczby pierwsze i bliźniacze rozmieszczone zarówno w zygzakowatych odstępach 48 w lewo (11 – 59) i 50 w prawo (59 – 109), jak i w postępie równym 48 + 50 = 98 (59 – 157), a także 50 w lewo (11-61) i 52 w prawo (61-113) jak i w postępie równym 50 + 52 = 102 (11-113) rozprzestrzeniają się jak najbardziej równomiernie.

Widzimy to na tych dwóch wykresach, gdzie zarówno ilość liczb pierwszych jak i bliźniaczych rośnie w prawie równych ilościach. W 98 liczbach może być od 13 do 19 liczb pierwszych dopełnionych przez iloczyny do połowy tej wielkości 13 + 36 = 49 = 19 + 30, a liczb bliźniaczych od 2 do 12.

Wyraźnie mamy tu skokowy wzrost co 10 liczb bliźniaczych. Do liczby 344 jest ich 38, a o dwie jednostki dalej 2(98) = 196 jest ich 38 + 6 = 44 + 4 = 48 o 6 + 4 = 10 więcej, podobnie od 48 + 6 = 54 + 4 = 58 + 6 = 64 + 4 = 68.

To samo obserwujemy gdy odstęp wynosi tylko 48 liczb. W 48 liczbach może być od 5 do 10 liczb pierwszych dopełnionych przez iloczyny do połowy tej wielkości 14 + 10 = 24 = 5 + 19, a liczb bliźniaczych od 2 do 6.

Wyraźnie mamy tu skokowy wzrost co 10 liczb bliźniaczych. Do liczby 338 jest ich 38, a o cztery jednostki dalej 4(48) = 192 jest ich 38 + 2 = 40 + 4 = 44 + 2 = 46 + 2 = 48 o 2 + 4 + 2 + 2 = 10 więcej, podobnie od 48 + 2 = 50 + 4 = 54 + 4 = 58 + 2 = 60 + 6 = 66 + 2 = 68. Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno stosunku liczb pierwszych do ich iloczynów, dopełniających się zawsze do połowy danej wielkości. W ten sposób dowiodłem właśnie, że liczby pierwsze nie tylko są uporządkowane według praw arytmetyki, ale także to, że ich systematyczne występowanie nie jest przypadkowe i chaotyczne, a całkowicie automatyczne i uporządkowane zgodnie z ich podstawowymi właściwościami, gdyż podlegają niezmiennym prawom arytmetyki, które określają ich ilość do danej wielkości z dokładnością co do jednego! To wszystko generuje najwspanialszą harmonię i pełne podziwu piękno i prawdę, tak że za Księgą Mądrości 11,20 możemy zawołać: „Ty jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą, liczbą i wagą”. Pozorny nieład jest uregulowany, za co Bogu niech będą dzięki, za ten porządek na 102, który tworzy 17 podwójnych prawoskrętnych ciągów co n(102) – 419 – 521 – 421 – 523 i 40 lewoskrętnych ciągów jednoimiennych liczb pierwszych co n(100) – 7 – 107 – 307 – 607 i 10 ciągów iloczynów liczby 5 (25-125 – 325 – 425).

Na wykresie liniowym widać z jaką dokładnością pary liczb pierwszych i ich iloczynów większych niż 3 pantograficznie rozszerzają się zawsze o 102 liczby w prawo (5 – 107, 7 – 109) i 96 liczb w lewo (5 – 101, 7 – 103). To właśnie sprawia, że wśród 34 liczb do 100 jest 25 liczb pierwszych i 9 ich iloczynów większych niż 3 (25 + 9 = 34/2 = 17, 25 = 8 + 17 – 8 = 9), a do 1000 jest 168 liczb pierwszych i 166 iloczynów liczb większych niż 3 (168 + 166 = 334/2 = 167, 168 = 1 + 167 – 1 = 166).