Tak równomiernie rozmieszczone są liczby pierwsze wśród swoich iloczynów stojących w ściśle określonym stosunku 17 liczb pierwszych do 23, 33, 43, 53 ich iloczynów, lub 34 liczby pierwsze do 66, 76, 86 ich iloczynów. Na wykresie radarowym widzimy lewoskrętne spirale liczb pierwszych przecinające się z prawoskrętnymi spiralami ich iloczynów.

/issuu.com/lubina2/docs/zagadka_wszech_czas__w?utm_source=conversion_success&utm_campaign=Transactional&utm_medium=email

issuu.com/lubina2/docs/world_puzzle_-_primes

Matematyka na dotknięcie - Złoty podział - oglądaj w save tv. http://csk18.save.tv/121355090_19EF38409553AD95FD87D9865FFF9B0F_0/?m=ext

Metoda testowania liczb pierwszych

Sumą kolejnych liczb naturalnych jest zawsze liczba trójkątna, która zatacza coraz szersze kręgi. (1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36 + 9 = 45 + 10 = 55 + 11 = 66 + 12 = 78) Jeżeli co drugą liczbę trójkątną podzielimy przez połowę liczby parzystej do której jest sumą kolejnych liczb naturalnych 6 + 4 = 10/2 = 5/1, 15 + 6 = 21/3 = 7/1, 28 + 8 = 36/4 = 9/3, 45 + 10 = 55/5 = 11/1, 66 + 12 = 78/6 = 13/1 to udowodnimy, że składa się ona z n- tych par skrajnych składników mających lub nie mających wspólnego dzielnika większego od jeden (5 = (4 +1)/1 = (3 + 2)/1, 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 + 3)/3 = (5 + 4)/1), które mieszczą się w liczbie trójkątnej. Jeżeli liczba trójkątna składa się z samych par skrajnych składników nie mających wspólnego dzielnika większego od 1 to znaczy, że składa się z samych liczb pierwszych na które można ją rozłożyć 10 = 2*5, 21 = 3*7, 55 = 5*11, 78 = (2*3)*13. Faktoryzacja sumy liczb naturalnych stojących przed daną liczbą nieparzystą aż do danej liczby oznacza, że jest liczbą pierwszą. Jeżeli czynniki pierwsze są mniejsze od danej liczby to znak, że składa się z liczb złożonych 36 = (2*2)(3*3) = 4*9, 105 = (3*5)*7 = 7*15…

Liczby pierwsze tak jak wszystkie liczby naturalne powstają przez dodanie do liczby poprzedniej zawsze jeden, /0 + 1 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 + 1 = 4 + 1 = 5 + 1 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 1 = 9/ stąd możemy napisać: każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. Dodając zaś kolejne liczby naturalne do siebie otrzymujemy liczby trójkątne (0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3/1, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10/2, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21/3),w których w co drugiej mieści się coraz większa ilość kolejnych liczb nieparzystych (3/1 = 3, 10/2 = 5, 21/3 = 7). W sumie liczb poprzedzających dana wielkość mieści się n -tą ilość razy i tę właściwość wykorzystamy przy testowaniu liczb trójkątnych na czynniki pierwsze. Każda liczba trójkątna większa od 1 może być przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych. Jeżeli w porządku czynników pierwszych na jakie rozkłada się liczba trójkątna ostatni czynnik równa się danej wielkości N to znak, że dana wielkość jest liczbą pierwszą. [(16)² + 16]/2 =(256 + 16)/2 = 136 = (16 + 1)/1 + (15 + 2)/1 + (14 + 3)/1 + (13 + 4)/1 + (12 + 5)/1 + (11 + 6)/1 + (10 + 7)/1 + (9 + 8)/1 = 8 * 17 = 2 * 2 * 2 * 17 Gdy ostatni czynnik jest mniejszy od danej wielkości N to znak, że dana wielkość jest liczbą złożoną z mniejszych czynników. [(14)² + 14]/2 = (196 + 14)/2 = 105 = (14 + 1) + (13 + 2) + (12 + 3)/3 + (11 + 4) + (10 + 5)/5 + (9 + 6)/3 + (8 + 7) = 7 * 15 = (3 * 5)* 7 Liczby pierwsze tak jak wszystkie liczby naturalne powstają przez dodanie do liczby poprzedniej zawsze jeden, /0 + 1 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 + 1 = 4 + 1 = 5 + 1 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 1 = 9/ stąd możemy napisać: każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. Dodając zaś kolejne liczby naturalne do siebie otrzymujemy liczby trójkątne (0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3/1, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10/2, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21/3), w których w co drugiej mieści się coraz większa ilość kolejnych liczb nieparzystych (3/1 = 3, 10/2 = 5, 21/3 = 7).

Liczby trójkątne jako suma liczb poprzedzających do danej liczby nieparzystej składają się z n - tej ilości sum dodawanych parami wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych /10 = (4 +1)/1 + (3 + 2)/1 = 5 + 5 = 2 * 5/, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych /36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4 * 9 = (2 * 2)(3 * 3). Uświadomienie sobie, że parami dodawanie wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną wielkość, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie /10 = (4 + 1)/1 + (3 + 2)/1 = 5 + 5 = 2*5, 36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4*9 pozwoli nam na utworzenie algorytmu testującego, czy dana suma liczb poprzedzających składa się tylko z liczb pierwszych /sumy pośrednie nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, [(2n)²+ 2n]/2 = (n'"+n)/1+(n"+n')/1 = p+p [4²+4]/2 = 10 = (4+1)/1 + (3+2)/1 = 5 + 5, albo złożonych /sumy pośrednie mają wspólny dzielnik większy od 1/ [(2n)² + 2n]/2 = (n'"+ n)/1 + (n" + n')/n = p(p) + p(p)= n(p*p)[8² + 8]/2 = 36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4*9 = (2*2)(3*3)

A tak wyobrazić sobie można rozmieszczenie liczb pierwszych w 3D.

Factoring - Number Factorizer

Prime numbers like all natural numbers arise by adding to the preceding number always one, / 0 + 1 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 + 1 = 4 + 1 = 5 + 1 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 1 = 9 / hence we can write: each successive number is about 1 greater than the previous. By adding the successive natural numbers to each we obtain triangular numbers (0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3/1, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10/2, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21/3), in which every second is housed still more bigger quantity of successive odd numbers (3/1 = 3, 10/2 = 5, 21/3 = 7).

In the sum of preceding number a given magnitude there houses n- number of times and this property will use for testing the triangular numbers into factorization of prime factors. Every triangle number greater than one can be represented as a product of prime numbers. If in order of prime factors to which decomposes the number of triangular the last factor is equal to a given magnitude N it is a sign, that the magnitude is a prime number. [16² + 16]/2 = (256 + 16)/2 = 136 = (16+1) + (15+ 2) + (14 + 3) + (13 + 4) + (12 + 5) + (11 + 6) + (10 + 7) + (9 + 8) = 8*17 = 2*2*2*17 When the last factor is smaller than given magnitude of N it is a sign, that the magnitude is composed of smaller factors. [14² + 14]/2 = (196 + 14)/2 = 105 = (14 + 1) + (13 + 2) + (12 + 3)/3 + (11 + 4) + (10 + 5)/5 + (6 + 9)/3 + (8 + 7) = 7 * 15 = (3 * 5) * 7

Triangular numbers as the sum of preceding numbers to given odd number consist from n-the quantities of sum of terms added pair wise from opposite ends of list of preceding numbers a given odd number, which if not have a common divisor greater than 1, yield identical intermediate sums only of primes / 10 = (4 +1)/1 + (3 + 2)/1 = 5 + 5 = 2*5/, and if they have at least one common divisor greater than 1, that yield identical intermediate sums only of complex numbers /36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4*9 = (2*2)(3*3). Realizing that adding pair wise of terms from opposite ends of list preceding numbers given odd number, always yield identical intermediate sums, will allow us to create a testing algorithm whether a given triangular number as the sum of preceding numbers to given magnitude, consists of only prime numbers or complex. t = (n’” + n )/1 + (n” + n’)/1… = p + p.. = n(p), t = (n”’ + n)/1 + (n” + n’)/n + … = p(p) + p(p)… = [n][p(p)], 105 = (14+1)/1 + (13 + 2)/1 + (12 + 3)/3 + (11 + 4)/1 + (10 + 5)/5 + (9+ 6)/3 + (8+ 7)/1 = 7*15 = (3*5)*7 And so you can to imagine a distribution of primes in 3D.

"The enigma of primes": They are also the answer to classical problems such as the distribution of primes, twin etc. http://www.amazon.com/enigma-primes-Secret-decoded/dp/1461027098/ref=sr_1_1/176-9588621-1869830?s=books&ie=UTF8&qid=1405242059&sr=1-1