Metoda testowania liczb pierwszych

Sumą kolejnych liczb naturalnych jest zawsze liczba trójkątna, która zatacza coraz szersze kręgi. (1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36 + 9 = 45 + 10 = 55 + 11 = 66 + 12 = 78) Jeżeli co drugą liczbę trójkątną podzielimy przez połowę liczby parzystej do której jest sumą kolejnych liczb naturalnych 6 + 4 = 10/2 = 5/1, 15 + 6 = 21/3 = 7/1, 28 + 8 = 36/4 = 9/3, 45 + 10 = 55/5 = 11/1, 66 + 12 = 78/6 = 13/1 to udowodnimy, że składa się ona z n- tych par skrajnych składników mających lub nie mających wspólnego dzielnika większego od jeden (5 = (4 +1)/1 = (3 + 2)/1, 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 + 3)/3 = (5 + 4)/1), które mieszczą się w liczbie trójkątnej. Jeżeli liczba trójkątna składa się z samych par skrajnych składników nie mających wspólnego dzielnika większego od 1 to znaczy, że składa się z samych liczb pierwszych na które można ją rozłożyć 10 = 2*5, 21 = 3*7, 55 = 5*11, 78 = (2*3)*13. Faktoryzacja sumy liczb naturalnych stojących przed daną liczbą nieparzystą aż do danej liczby oznacza, że jest liczbą pierwszą. Jeżeli czynniki pierwsze są mniejsze od danej liczby to znak, że składa się z liczb złożonych 36 = (2*2)(3*3) = 4*9, 105 = (3*5)*7 = 7*15…

Liczby pierwsze tak jak wszystkie liczby naturalne powstają przez dodanie do liczby poprzedniej zawsze jeden, /0 + 1 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 + 1 = 4 + 1 = 5 + 1 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 1 = 9/ stąd możemy napisać: każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. Dodając zaś kolejne liczby naturalne do siebie otrzymujemy liczby trójkątne (0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3/1, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10/2, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21/3),w których w co drugiej mieści się coraz większa ilość kolejnych liczb nieparzystych (3/1 = 3, 10/2 = 5, 21/3 = 7). W sumie liczb poprzedzających dana wielkość mieści się n -tą ilość razy i tę właściwość wykorzystamy przy testowaniu liczb trójkątnych na czynniki pierwsze. Każda liczba trójkątna większa od 1 może być przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych. Jeżeli w porządku czynników pierwszych na jakie rozkłada się liczba trójkątna ostatni czynnik równa się danej wielkości N to znak, że dana wielkość jest liczbą pierwszą. [(16)² + 16]/2 =(256 + 16)/2 = 136 = (16 + 1)/1 + (15 + 2)/1 + (14 + 3)/1 + (13 + 4)/1 + (12 + 5)/1 + (11 + 6)/1 + (10 + 7)/1 + (9 + 8)/1 = 8 * 17 = 2 * 2 * 2 * 17 Gdy ostatni czynnik jest mniejszy od danej wielkości N to znak, że dana wielkość jest liczbą złożoną z mniejszych czynników. [(14)² + 14]/2 = (196 + 14)/2 = 105 = (14 + 1) + (13 + 2) + (12 + 3)/3 + (11 + 4) + (10 + 5)/5 + (9 + 6)/3 + (8 + 7) = 7 * 15 = (3 * 5)* 7 Liczby pierwsze tak jak wszystkie liczby naturalne powstają przez dodanie do liczby poprzedniej zawsze jeden, /0 + 1 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 + 1 = 4 + 1 = 5 + 1 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 1 = 9/ stąd możemy napisać: każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. Dodając zaś kolejne liczby naturalne do siebie otrzymujemy liczby trójkątne (0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3/1, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10/2, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21/3), w których w co drugiej mieści się coraz większa ilość kolejnych liczb nieparzystych (3/1 = 3, 10/2 = 5, 21/3 = 7).

Liczby trójkątne jako suma liczb poprzedzających do danej liczby nieparzystej składają się z n - tej ilości sum dodawanych parami wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych /10 = (4 +1)/1 + (3 + 2)/1 = 5 + 5 = 2 * 5/, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych /36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4 * 9 = (2 * 2)(3 * 3). Uświadomienie sobie, że parami dodawanie wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną wielkość, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie /10 = (4 + 1)/1 + (3 + 2)/1 = 5 + 5 = 2*5, 36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4*9 pozwoli nam na utworzenie algorytmu testującego, czy dana suma liczb poprzedzających składa się tylko z liczb pierwszych /sumy pośrednie nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, [(2n)²+ 2n]/2 = (n'"+n)/1+(n"+n')/1 = p+p [4²+4]/2 = 10 = (4+1)/1 + (3+2)/1 = 5 + 5, albo złożonych /sumy pośrednie mają wspólny dzielnik większy od 1/ [(2n)² + 2n]/2 = (n'"+ n)/1 + (n" + n')/n = p(p) + p(p)= n(p*p)[8² + 8]/2 = 36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4*9 = (2*2)(3*3)

A tak wyobrazić sobie można rozmieszczenie liczb pierwszych w 3D.