Labirynt liczb pierwszych

"Ciąg liczb pierwszych ma niezauważalnej wzór, i jako takie, liczby pierwsze są same prawem dla siebie. Choć wydają się być jak dzikie chwasty rozproszone wśród liczb naturalnych,.. Od wieków matematycy próbowali i nie udało się wyjaśnić, jaki jest podstawowy wzór liczb pierwszych. Możliwe, że nie istnieje taki wzór i liczby pierwsze ze swej natury wykazują przypadkowe rozmieszczenie, w tym przypadku zaleca się matematykom, podjąć się innych mniej ambitnych zagadnień z tej dziedziny.” Simon Singh

Coś w tym stylu było przed odkryciem regularnego wzoru ukrytego za pozornie chaotycznie rozmieszczonymi liczbami pierwszymi i w mojej pracy starałem się dodać wyjaśnienie do podstawowego wzorca ukrytego za liczbami pierwszymi. Wykazałem, że p = 2(n) + 1 to jedyny wzór, który jest nieodłączny od liczb pierwszych[2 = 2(0,5) + 1, 3 = 2(1) + 1, 5 = 2(2) + 1 itd], ponieważ nie są rozmieszczone bezładnie. Wszystko to otwiera drzwi na inne nierozwiązane problemy w kwestiach takich jak, nieustanność liczb bliźniaczych, przypuszczeń Goldbacha i Riemanna, czy rozmieszczenia liczb pierwszych itd. Liczby pierwsze są przedmiotem większej uwagi dla matematyków, zarówno profesjonalnych jak i amatorskich, odkąd ludzie zaczęli badać własności liczb i uważają je za fascynujące. Na przykład już Euklides pokazał, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Jednakże, kilka ważnych właściwości liczb pierwszych nie są jeszcze dobrze poznane. Liczby pierwsze nurtowały przez wieki ciekawych myślicieli. Z jednej strony, liczby pierwsze wydają się być rozmieszczone przypadkowo pośród liczb naturalnych bez żadnego innego prawa jak prawdopodobieństwa. Jednak z drugiej strony, rozkład liczb pierwszych globalne ujawnia niezwykle gładką regularność. To połączenie losowości i prawidłowości zmotywowało mnie do wyszukiwania wzorów w rozmieszczeniu liczb pierwszych, które mogą ostatecznie rzucić światło na ich ostateczny charakter. ATRAKCJE LICZB PIERWSZYCH Liczby pierwsze intrygowały ciekawych świata ludzi od wieków. Z jednej strony, liczby pierwsze wydają się być przypadkowo rozmieszczone między liczbami naturalnymi według żadnego innego prawa, niż przypadku. Z drugiej jednak strony, postrzegane rozmieszczenie liczb pierwszych ujawnia godny uwagi zauważalny porządek. To połączenie przypadkowości z prawidłowością zmotywowało mnie do wyszukiwania wzorców na rozmieszczenie liczb pierwszych, które mogą ostatecznie rzucić światło na właściwą im naturę.Wyraźnie widzimy to w poniższej tabeli, jaka ilość par skrajnych składników liczb poprzedzających nie mających wspólnego dzielnika większego niż jeden, równa połowie parzystej liczby poprzedzającej tworzy każdą liczbę pierwszą. Stąd możemy napisać: liczbą pierwszą jest tylko ta liczba naturalna, która składa się z samych par skrajnych składników liczb poprzedzających, nie mających wspólnego dzielnika większego niż jeden. Iloczyn ilości par i sumy skrajnych składników jest sumą wszystkich liczb poprzedzających liczbę pierwszą (a)/2*(n₁ + nn)/1 = Σn 30*61 = 1830/2 = 915/3 = 305/5 = 61/1.

Wiemy, że każda liczba naturalna większa niż jeden, podzielna tylko przez 1 i samą siebie, jest liczbą pierwszą, czyli każda liczba pierwsza ma jedynie pary składników, których wspólny dzielnik równy jest jeden (1 | [s + s’]), stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem, że jest liczbą pierwszą. Np:11 = (10 + 1)/1 = (9 + 2)/1 = (8 + 3)/1 = (7 + 4)/1 = (6 + 5)/1.

Tak właśnie graficznie można przedstawić każdą liczbę pierwszą, składającą się z połowy parzystej liczby poprzedzającej par skrajnych składników liczb poprzedzających nie mających wspólnego dzielnika większego niż jeden, w tym przypadku 10/2 = 5 par. Zasadniczo jest to jeden ciąg liczb poprzedzających liczbę pierwszą, jakby podzielony na pół, tak aby jego wyrazy skrajne jako pary składników nie mające wspólnego dzielnika większego niż 1, tworzyły pięć razy liczbę pierwszą. To ile razy pary ciągu liczb poprzedzających tworzą liczbę pierwszą, wynika z równoległego zestawienia tego ciągu, raz jako rosnącego od 1 – 10, raz jako malejącego od 10 – 1.To pozorne podwojenie ciągu sprawia, że dwie jego długości dzieląc się przez 4, pokazują ile par ciągu liczb poprzedzających nie mających wspólnego dzielnika większego niż 1, tworzą liczbę pierwszą.

A tak wygląda tarcza testowa, rozkładająca sumę liczb poprzedzających daną liczbę na czynniki pierwsze. Jeżeli suma liczb poprzedzających daną liczbę n + n’ + n”… + nn = S(n) równa się iloczynowi połowy danej liczby pomniejszonej o jeden i sumy dwóch skrajnych liczb poprzedzających nie mających wspólnego dzielnika większego niż 1, to suma ta rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną liczbę dając dowód na to, że składa się z 6 par składników nie mających wspólnego dzielnika większego niż jeden (12 + 1)/1 + (11 + 2)/1 + (10 + 3)/1 + (9 + 4)/1 + (8 + 5)/1 + (7 + 6)/1 = 78 = 6*13, czyli z 6 liczb pierwszych.

Sumą kolejnych liczb naturalnych jest zawsze liczba trójkątna, która zatacza coraz szersze kręgi. (1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36 + 9 = 45 + 10 = 55 + 11 = 66 + 12 = 78) Jeżeli co drugą liczbę trójkątną podzielimy przez połowę liczby parzystej do której jest sumą kolejnych liczb naturalnych 6 + 4 = 10/2 = 5/1, 15 + 6 = 21/3 = 7/1, 28 + 8 = 36/4 = 9/3, 45 + 10 = 55/5 = 11/1, 66 + 12 = 78/6 = 13/1 to udowodnimy, że składa się ona z n- tych par skrajnych składników mających lub nie mających wspólnego dzielnika większego od jeden (5 = (4 +1)/1 = (3 + 2)/1, 9 = (8 + 1)/1 = (7 + 2)/1 = (6 + 3)/3 = (5 + 4)/1), które mieszczą się w liczbie trójkątnej. Jeżeli liczba trójkątna składa się z samych par skrajnych składników nie mających wspólnego dzielnika większego od 1 to znaczy, że składa się z samych liczb pierwszych na które można ją rozłożyć 10 = 2*5, 21 = 3*7, 55 = 5*11, 78 = (2*3)*13. Faktoryzacja sumy liczb naturalnych stojących przed daną liczbą nieparzystą aż do danej liczby oznacza, że jest liczbą pierwszą. Jeżeli czynniki pierwsze są mniejsze od danej liczby to znak, że składa się z liczb złożonych 36 = (2*2)(3*3) = 4*9, 105 = (3*5)*7 = 7*15…

Liczby trójkątne jako suma liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą składają się z n-tej ilości sum dodawanych wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, które jeżeli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb pierwszych /10 = (4 +1)/1 + (3 + 2)/1 = 5 + 5/= 2*5, a jeżeli mają przynajmniej jeden wspólny dzielnik większy niż 1, to tworzą identyczne sumy pośrednie tylko liczb złożonych /36 = (8 + 1)/1 + (7 + 2)/1 + (6 + 3)/3 + (5 + 4)/1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4*9 = (2*2)(3*3). Uświadomienie sobie, że parami dodawanie wyrazów z przeciwległych końców wykazu liczb poprzedzających daną liczbę nieparzystą, przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie, pozwoli nam na utworzenie algorytmu testującego, czy dana liczba trójkątna jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości, składa się tylko z liczb pierwszych czy złożonych. t =(n+n')/1+(n"+ n'")/1 = p + p t=(n+n')/1+(n"+n'")/n+..=p(p)+p(p) 105 = (14+1)/1+(13+2)/1+(12+3)/3+(11+4)/1+(10+5)/5+(9+6)/3+(8+7)/1=7*15=(3*5)*7

Podobnie jest z iloczynami liczb pierwszych. One również składają się z parzystej ilości par składników liczb poprzedzających z tym, że przynajmniej jedna para ma wspólny dzielnik większy od jeden, to znaczy równy liczbie pierwszej, której jest iloczynem np. 3. I tak liczba 9 składa się z czterech par liczb poprzedzających (8 + 1)/1, (7 + 2)/1, (6 + 3)/3, (5 + 4)/1, w których jedna para 6 + 3 ma wspólny dzielnik większy od jeden co wyciągając przed nawias zapiszemy tak 3(2 + 1) = 3(3). W ten sposób najłatwiej możemy dokonać faktoryzacji każdego iloczynu liczb pierwszych na czynniki pierwsze.

Graficznie za pomocą tarczy testowej rozkładającej sumę liczb poprzedzających daną liczbę na czynniki pierwsze można przedstawić następująco. Jeżeli suma liczb poprzedzających daną liczbę równa się iloczynowi połowy danej liczby pomniejszonej o 1 i sumy dwóch skrajnych liczb poprzedzających mających i nie mających wspólny dzielnik większy niż 1, to suma ta rozkłada się na wszystkie czynniki pierwsze 7 par składników, z których 4 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, (14 + 1)/1, (13 + 2)/1, (11 + 4)/1, (8 + 7)/1, zaś 3, (12 + 3)/3 = (4 + 1)3 = 5*3, (9 + 6)/3 = (3 + 2)3 = 5*3, (10 + 5)/5 = (2 + 1)5 = 3*5, mają wspólny dzielnik większy od 1, czyli jest liczbą złożoną.

A tak graficznie przedstawia się iloczyn 7*11, posiadający dzięki czynnikowi 11 pięć par składników o wspólnym dzielniku większym od jeden 7(1 + 10), 7(2 + 9), 7(3 + 8), 7(4 + 7), 7(5 + 6) i iloczyn 11*7, posiadający dzięki czynnikowi 7 trzy pary składników o wspólnym dzielniku większym od jeden 11(1 + 6), 11(2 + 5), 11(3 + 4), czyli w sumie osiem.

Poniżej widzimy 7 ciągów liczb naturalnych typu a₂ = a₁ + 7 zaczynających się od liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. W ciągu zaczynającym się od 7-14-21-28-35-42-49-56-63-70-77, oprócz liczb parzystych co 42 miejsca są tylko iloczyny liczby 7. Te właśnie liczby parzyste stojąc przed znajdującymi się w następnym ciągu liczbami pierwszymi /28-29, 42-43,70-71/ są dla nas interesujące. Wystarczy odjąć od nich 7 i dodać liczbę o jeden większą 2n – 7 = n(7) + 8 = p 28 – 7 = 21 + 8 = 29, aby udowodnić że iloczyny liczb pierwszych i same liczby pierwsze rozmieszczone są co 42 miejsca /29-71/. Tą metodą z tego labiryntu liczb, jak na sicie możemy wyłowić wszystkie liczby pierwsze /22 – 8 = 14 + 9 = 23, 30 – 2 = 28 + 3 = 31, 40 – 5 = 35 + 6 = 41/. Można więc napisać [n(7) + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9] = p

[n(7) + 3, + 4, + 5, + 6, + 8, +9] = p jest jedynym wzorem regenerującym niezawodnie wszystkie liczby pierwsze, jak to zaznaczono w poniższej tablicy, bo oparty jest na zasadzie, iż wszystkie liczby pierwsze, oraz liczby parzyste jako iloczyny liczby dwa /n(2)/ rozmieszczone są w 7 ciągach gdzie różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała i równa się r = 7. Dlatego odejmując od poprzedzającej liczby parzystej 2n – 2, - 3, - 4, - 5, - 7, lub - 8 natrafimy na najbliższy iloczyn liczby siedem n(7), a dodając do niego liczbę o jeden większą /+3,+4,+5,+6,+8,+9/ trafiamy na leżącą w następnym ciągu zdecydowanie liczbę pierwszą, której iloczyn połowy liczby parzystej i jej samej rozkłada się na czynniki pierwsze, aż po wartość danej liczby zaświadczając, że jest liczbą pierwszą (10/2*11 = 55 = 5*11, 12/2*13 = 78 = 2*3*13, 16/2*17 = 136 = 2*2*2*17, 18/2*19 = 171 = 3*3*19).

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w rzędach po 14 liczb, to wprawdzie odstępy pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2, 4, 6, 8 do coraz większych, lecz w kolumnach pomiędzy rzędami stałą pozostaje najmniejsza odległość 28 = 4(7), a reszta jest wielokrotnością liczby 7. (3-31-59, 5-61-89, 11-67, 13-41, 17-73-101, 19-47-103, 23-79-107). [u]0 1,, 2,, 3,, 4,, 5,, 6,, 7,, 8,, 9,, 10,, 11,, 12,, 13, 14[/u] 1 2,, 3,, 5,, 7,, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,, 25, 27 2 29 31 33, 35 37 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55 3 57 59 61, 63 65 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83 4 85 87 89,91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste rozprzestrzeniają się według tego samego wzoru: pomiędzy dwoma liczbami nieparzystymi podzielnymi przez 3 i oddalonymi od siebie o 6 miejsc, znajdują się dwie liczby pierwsze lub ich iloczyny, albo liczba pierwsza i iloczyn innej liczby pierwszej 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, co pozwoliło na ujęcie wszystkich wielokrotności liczb pierwszych w jednej tabeli, to regularność ta pozwoli nam na zbudowanie całego układu okresowego liczb pierwszych i ich iloczynów. Dostrzeżona regularność w rozmieszczeniu liczb pierwszych i ich iloczynów pozwala na utworzenie układu okresowego, w którym liczby pierwsze uszeregowane w 14 kolumnach będą się pojawiały wraz z iloczynami co 4*7 = 28 liczb /3-31, 5-33, 7-35, 9-37, 11-39, 13-49,15-43, 17-45, 19-47, 23-51, 25-53/. W czwartej i 11 kolumnie mamy tylko iloczyny liczby 7. To dowód na to, że w takim układzie liczb pierwszych i ich iloczynów decydujące znaczenie ma liczba 7. /25 + 16 + 9 = 50 = (3*14) + 8, 168 + 166 + 166 = 500 = (35*14) + 10/

Jeżeli p = (n)7 + 3, + 4, + 5, + 6, + 8, + 9 to jedyny wzór i wszystkie liczby pierwsze są na nim oparte, to liczby pierwsze są rozmieszczone według pewnego wzorca. Wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie modulo 7 i mają jako poprzednika liczbę parzystą, której połowa gwarantuje, że wszystkie liczby poprzedzające tworzą pary skrajnych składników nie mających wspólnego dzielnika większego od jeden. Wszystko to daje nam do ręki przysłowiową sieć, by uchwycić w niej pozostałe nierozstrzygnięte kwestie, takie jak zagadnienie rozmieszczenie liczb pierwszych i liczb bliźniaczych, kwestia odstępu pomiędzy nimi, ich gęstości, hipotezy Riemanna, mocnego i słabego przypuszczenia Goldbacha i wiele innych.